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양자 역학의 기초 - 왜 양자역학을 쓰는가

여러분 안녕하세요~

화학에 관련된 드디어! 첫 글이네요.

제가 블로그에 올릴 내용들은 Siska의 University Chemistry를 기초로 쓸 거에요. 그래서 그 순서대로라면 오늘 볼 '양자역학'이 가장 첫 내용이 되겠네요! 

오늘의 주제는 바로 양자역학은 무엇이고, 왜 쓰는가? 입니다.

양자 역학, 이름만 들어도 어려워 보이고 도대체 저 덕후같은 건 뭐지..라는 생각이 많이 드실 거에요. 사실 저도 지금 학부 4학년이라 양자역학을 알아 봤자 약간밖에 몰라요 ^^; 원래 물리에서 다루는 분야이거든요. 

양자역학은 원래 이런 과목입니다.


ㄷㄷㄷ....

이런건 저도 몰라요 ㅎㅎ 어떤 학문이던지 쉬운 내용부터! 접근하면 어려울 건 없을 거에요. 저는 화학에 사용될 기초적인 양자역학에 대해서 알아볼게요.


18세기 이전까지만 해도, 물리학을 이용하면 자연 현상을 모두 설명할 수 있었어요. 

예를 들자면,

뉴턴은 F=ma를 이용해 질량과 가속도의 관계를 알아내었고,

데카르트는 운동에너지와 위치에너지의 개념을 도입해 F=ma를 이용하지 않더라도!(사실 가속도라는 개념이 한번에 와 닿진 않죠^^;) 에너지의 보존을 이용해 물체의 운동을 설명할 수 있었어요.

에너지 보존 법칙과 F=ma 말고도 물리에서 또 무엇을 배우죠? 바로 전자기와 파동입니다.

전류와 전압, 자기장, 저항, 코일, 축전기... 이들을 이용해 전류와 자기의 흐름을 나타내는 전자기학, 이것도 물론 18세기 이전에 설명이 가능했습니다.

그런데 문제가 생기기 시작합니다. 

절대 고전적인 물리학으로 설명할 수 없던 이 문제는 바로, 빛의 선 스펙트럼입니다.

가장 위에 있는 그림을 볼게요. 아마 중학교 때 실험해 보았을 거에요. 태양빛을 분광기로 보면 (a) 그림처럼 무지개 색의 빛이 모두 보이겠죠? 

태양빛을 분광기로 봐도, 형광등을 분광기로 봐도 둘 다 무지개 색으로 보일 겁니다.

그런데, 과학자들은 특이한 사실을 발견했습니다. 스펙트럼을 자세히 관찰하면, 태양빛을 바라본 흡수 스펙트럼(그림 a)은 검정색으로 여기저기 선이 나타납니다. 이 선은 수소 원자의 선 스펙트럼(그림 c)에서도 같은 위치에 나타납니다.

그림 c의 스펙트럼을 조금 더 자세히 살펴보겠습니다.

a와 같은 스펙트럼을 '흡수 스펙트럼', c와 같은 스펙트럼을 '방출 스펙트럼'이라고 합니다.

방출 스펙트럼인 c는, 수소 기체를 태울 때 나오는 불꽃을 분광기로 봤을 때의 빛이기 때문에 수소 원자만이 가진 특정한 위치에 선이 생깁니다. 이를 이용하면 모든 원자들의 고유한 선 스펙트럼이 얻어집니다. 이를 이용해 불꽃 반응 실험으로 원자를 추정할 수 있겠죠?

잔소리가 길어졌네요. 다시 본론으로 들어가면,

고전 물리학에서는 c와 같은 선 스펙트럼을 설명할 수 없었습니다. 

왜냐면, 고전 물리학에서는 모든 에너지는 연속적이기 때문입니다. 

용수철을 늘였다 줄였다 하면, 에너지가 1J, 2J, 3J, 4J 이렇게 딱딱 떨어질까요? 아닙니다. 

훅의 용수철 법칙에 의해서, 위와 같은 식으로 x의 값에 따라서 연속적으로 변하게 됩니다.

고전 물리학에서 모든 에너지는 연속적으로 변합니다. 만유인력도 거리에 따라 연속적으로 변하고, 전자기력도 거리에 따라 연속적으로 변화합니다.


c의 선 스펙트럼을 다시 볼까요? 

410, 434, 486,656nm에서 불연속적인 선이 나오죠?

이 선은 바로 전자가 이동할 때 떨어지는 에너지만큼 빛이 생성되는 것입니다.

일어서서 농구공을 땅에 떨어트려 봅니다. 그럼 어떻게 되나요? 쿵 소리가 나면서 농구공이 바닥에 떨어지게 됩니다.

전자도 똑같습니다. 전자가 에너지가 높은 상태(농구공으로 따지면 1m 높이)에서 에너지가 낮은 상태(농구공으로 따지면 땅바닥)으로 떨어질 때, 에너지를 방출(쿵 하는 소리)합니다.

이렇게 에너지를 방출하면, 그 에너지에 해당하는 빛이 우리 눈에 번쩍! 하고 보이게 됩니다.


에너지가 낮은 빛은 더 긴 파장인 적외선(Infrared), 마이크로파(microwave), 라디오파(radio) 등으로 방출되게 되고,

에너지가 높은 빛은 더 짧은 파장인 자외선(Ultraviolet), X선, 감마선 등으로 방출됩니다.

자외선과 적외선 사이의 에너지를 가진 빛을 가시광선(Visible light)이라고 하는데요, 

만약! 전자가 쿵 할때 방출하는 에너지의 양이 가시광선 영역 안에 들어간다면? 우리 눈에는 빨주노초파남보의 색 중 하나가 보이게 됩니다.

그 말은 즉, c의 그림에서 나타난 4개의 선이 있다는 것은 전자가 쿵 하고 떨어질 수 있는 높이가 가시광선 영역 안에서는 딱 4종류밖에 없다는 뜻입니다.

아니 이게 무슨 소리요.. 고전 물리학에서는 모든 에너지는 연속적이라고 하지 않았나, 그러면 당연히 a 그림처럼 연속된 스펙트럼이 나와야 하는데,

왜 선 스펙트럼이 나올까. 이 고민을 많은 현대 물리학자들이 하게 됩니다.


선 스펙트럼 하나만으로 문제가 제기되진 않았습니다. 

두 번째로 "Ultraviolet Catastrophe"이라는 현상이 많은 물리학자들을 고민에 빠트렸습니다. (자외선 파탄? 뭐라고 번역할지 모르겠네요 ^^;)

이를 설명하기 위해서는 흑체 복사에 대해 알아야 합니다.

흑체 복사(Blackbody Radiation)는, 흑체에서 방출하는 복사선을 의미합니다. 

흑체란, 모든 빛과 에너지들을 흡수하는 물체를 의미하며 쉽게 생각해서 검정색 옷은 빛을 많이 흡수하니까, 진짜 완전 스페셜하게 검정색인 물체는 모든 빛을 흡수하겠지? 라는 뜻에서 간단히 Blackbody, 흑체라고 표현하는 겁니다. (흑체는 에너지 손실이 없이 이상적으로 에너지 방출을 해서, 흑체 복사만 설명합니다 보통 ㅎ)

고전적인 이론 중 빈의 변위 법칙(Wien's Law)에 의하면, 흑체에서 방출하는 파장은 온도에 반비례합니다. 

즉, 에너지가 낮은 빛은 긴 파장을, 에너지가 높은 빛은 짧은 파장을 방출해아 합니다.

그런데 이 이론은 실제 실험 결과와 충돌하게 됩니다. 아래 그림을 볼까요?

녹색 선이 바로 빈의 변위법칙을 표현한 그래프입니다. 파장이 4, 3, 2, 1 마이크로미터로 짧아질수록 에너지가 높아지죠? (에너지는 온도의 4제곱에 비례합니다. 스테판-볼츠만의 법칙) 

그런데 파란색 점들이 바로 실험 결과입니다. 어....1~2마이크로미터 이하의 낮은 파장대에서는 결과가 맞질 않네요.

만약 빈의 변위법칙에 의하면, 파장이 0에 수렴하게 된다면 에너지가 무한대가 되어 버립니다. 뭔가 문제가 있죠?

낮은 파장대, 즉 자외선 영역에서 이와 같이 고전 물리학에서 설명이 불가능한! 현상이 발생하게 됩니다. 

그래서 이런 현상을 "Ultraviolet Catastrophe"라고 합니다.


고전 물리학 이론에 반기를 드는 두 가지 내용에 대해 설명했습니다. 

1. 수소 원자의 선 스펙트럼은 불연속적이다.

2. 자외선 영역에서 고전적인 흑체 복사 이론과의 불일치가 발생한다.

이 두 가지 때문에, 현대적인 에너지 이론이 필요하게 되었습니다.


Max Planck는 이를 해결하는 가설을 세웠습니다.

위의 그래프에서 실험값인 파란색 점들을 따라서 부드러운 곡선이 그려진 것이 보이시죠?

플랑크는 이 점들을 이용해서 수학적으로 곡선의 방정식을 계산합니다. ㄷㄷㄷ... 자, 플랑크의 가설을 정리해 볼게요.



1. 진동수 f를 갖는 진동자의 에너지는 양자화되어 있다.

양자화란, 에너지가 불연속적으로 존재한다는 뜻입니다. 고전 물리학 이론에 따르면, 에너지는 부드럽게 연속적으로 변해야 하지만 현대 물리학 이론에 따르면 에너지는 계단식으로 변화하게 됩니다.

에너지는 반드시 계단 위치에 있는 특정한 에너지만을 가질 수 있습니다. 

앞의 농구공의 예를 들면, 양자화된 세계에서 농구공은 30cm, 1m, 1.5m, 2m의 위치에만 존재할 수 있고 1.3m, 10cm와 같은 위치에는 절대 존재할 수 없다는 뜻이 됩니다.

플랑크는 전자의 에너지가 양자화되어있다고 생각했고, 이에 따른 양자수를 갖는다고 생각했습니다.

쉽게 말해서 계단의 첫번째, 두번째, 세번째 계단이 존재하듯이 여기에 1, 2, 3...의 숫자를 매긴 것이지요.

그래서 빛의 에너지는 오직 진동수에만 비례하고, 그 진동수에 양자수를 곱한 게 바로 에너지라고 가설을 세웠습니다.

여기에서 n은 1, 2, 3, ...으로 변하는 양자수이고 h는 플랑크 상수입니다. 당당하게 자기 이름을 붙인 상수가 탄생했죠.

그리고 그리스 문자(nu라고 발음하시면 됩니다)는 진동수를 의미합니다. 진동을 많이 할수록 당연히 에너지가 크겠죠? 



2. 각 진동수에서 양자화된 진동자들의 평균 에너지를 계산해 복사선 세기 곡선을 예측

자, 말이 정말 어렵죠? 양자화된 진동자들의 에너지라니 ... 간단히 설명하면 바로 이겁니다.

실험값인 파란색 점들을 바탕으로 파란색 곡선을 수학적으로 계산해서 맞춘 겁니다. 점을 바탕으로 때려 맞춘 곡선이죠.

이 곡선의 식은 아래와 같습니다.

그래프 모양이 특이한 곡선이니까 당연히 식도 복잡하겠죠? 다양한 진동수 v에서 에너지의 값들을 그래프에 때려맞추면, (실험값을 이론적인 식으로 맞추는 이런 과정을 통계학에서는 Regression, 회귀 라고 합니다.) 플랑크 상수 h를 구할 수 있습니다.



3. 일때 고전적인 식과 일치

문제점으로 거론되었던 Ultraviolet catastrophe는 파장이 짧은 영역에서만 문제가 되었습니다. 고전적으로는 짧은 파장에서 따로, 긴 파장에서 따로 식을 사용할 수만 있었지 종 모양의 전체적인 곡선을 설명할 수 없었던 것이 문제였지요.

만약 온도를 무한대로 근사한다면, 2번의 식은 고전적인 모형의 에너지 식과 일치해야 합니다. 

위의 지수함수 근사를 이용해 2번의 복잡한 식을 온도가 무한대일 때로 근사하면, 아래 식을 얻을 수 있습니다.


이는 고전적인 Rayleigh-Jean's law와 일치합니다. 즉, 플랑크 가설이 합당함을 보여줍니다.




이렇게 플랑크는 고전적으로 해결하지 못한 문제를 완전히 새로운 개념인 "양자화"를 통해 해결하는 가설을 세웠습니다.

플랑크의 가설은 양자 역학의 기초가 되었고, 이후 새로운 이론들이 엄청나게 발전하기 시작했습니다.

이제 왜 양자역학이 생겨났는지, 왜 현대물리학이 등장하게 되었는지 조금 이해가 되셨다면 좋겠네요 ^^ 오늘 글은 여기서 마칠게요.



- References

University Chemistry, Peter Siska, Pearson Education, 2006

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Prologue

안녕하세요~~ 오늘 블로깅을 시작했네요.

제가 이 블로그를 연 주된 목적은 바로, '배워서 남 주자' 입니다.

저는 현재 화학을 전공하고 있고, 고등학교 때부터 좋은 선생님과 교수님들로부터 많은 지식을 얻었습니다.

특히 제가 재미있어 하는! 화학 분야에 대해서 이걸 그냥 놔두면 다 까먹겠죠 ㅠㅠ


그래서 제 블로그를 보시는 많은 분들께서 유익한 정보를 얻어 나가셨으면 합니다.

우선 저의 소박한 목표는, 제가 1학년 때 배웠던 일반화학 교재인 'University Chemistry, Siska' 책을 여러분께 쉽고 이해하기 쉽게 설명해 책 전체를 연재하는 것입니다. 

추후 다양한 화학의 심화된 전공 분야(물리화학, 유기화학, 무기화학 등)들도 연재해 저만의 인터넷 도서관을 만드는 게 저의 목표입니다.

현재 대학에서 화학을 배우는데 내용이 이해가 안 간다, 혹은 화학에 흥미를 가진 고등학생 여러분들께서 

많은 흥미와 지혜로움을 얻어 가셨으면 합니다 ^^;

2013.1.22

오 한솔




University Chemistry

저자
Siska 지음
출판사
Benjamin-Cummings | 1900-01-01 출간
카테고리
과학/기술
책소개
Award-winning educator Peter Siska ...
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