슈뢰딩거의 방정식

안녕하세요. 오늘은 슈뢰딩거의 방정식(Schrodinger Equation)에 대해 알아보도록 하겠습니다.

이름만 들어도 어렵고, 이해가 잘 안 될 것 같은데요, 사실 슈뢰딩거 방정식은 미분 방정식을 이용한 식입니다. 그래서 미분 방정식을 배우지 않았다면 정말 어려운 내용이죠. 최대한 쉽게 풀어 써 볼게요 ^^

저번 포스팅에서 보어의 모형을 설명해 드렸죠? 보어는 드 브로이의 물질파 이론을 받아들여 전자가 파동성을 띤다고 가정하고 식을 유도했습니다. 전자는 원자핵을 주변으로 도는데, 만약 파동성을 띤다면 처음 시작할 때의 위상과 한 바퀴를 돌고 난 후의 위상이 같아야 딱 맞기 때문에 정상파의 형태를 갖는다고 했습니다. 쉽게 말하면,


전자(물질) ----드 브로이의 물질파 이론----> 파동(보어의 모형)


이러한 과정이 이루어졌다고 생각하실 수 있습니다.

1925년, 독일의 물리학자인 슈뢰딩거가 드브로이의 "물질의 파동성에 대한 자연적 특징"에 대해 설명하는 강연을 하고 있었다고 합니다. 강연이 끝날 때 쯤, 당시 유명한 화학자였던 디바이(Debye)가 이렇게 말했다고 합니다. 

"아니 이렇게 멍청할 수가 있나? 만약 물질이 파동이라면, 당연히 파동 방정식(wave equation)을 따를 것이 아닌가?"

당시 수리 물리학 분야에서 전문가였던 슈뢰딩거는 이 말을 듣고 그 때부터 재빨리 파동 방정식을 유도하기 시작했습니다. 몇 달이 지난 후, 슈뢰딩거는 드 브로이의 정상파를 만족하는 파동 방정식을 세우는 데 성공했습니다. 


파동(보어의 모형) ----파동 함수----> 슈뢰딩거의 방정식


두 연관 관계를 합쳐서 생각해 보면,


전자(물질) ----드 브로이의 물질파 이론----> 파동(보어의 모형) ----파동 함수----> 슈뢰딩거의 방정식


전자의 이동을 기술하는 함수, 파동 함수를 이용해 슈뢰딩거의 방정식을 유도한 것입니다. 
전자가 파동성을 띠면서 원자핵 주변을 운동한다면, 이를 파동 함수로 나타낼 수 있고, 방정식 하나로 전자의 운동을 기술할 수 있게 된 것입니다.
전자의 운동을 하나의 방정식으로 모두 표현한다니, 엄청난 발전이 아닐 수 없습니다. 이후에 등장할 오비탈(orbital)은 모두 슈뢰딩거 방정식을 컴퓨터를 이용해 풀어서 나온 결과입니다.

슈뢰딩거 방정식을 이제 유도해 보도록 하겠습니다.
만약 어떤 파동이 존재하는데 파동이 정상파이다? 

만약 파동이 정상파라면, 위 그림처럼 양끝을 고정하고 양 끝의 위상이 동일해, 주기성을 띨 수 있어야 합니다. 보어의 모형에서도, 원 한 바퀴를 파동이 돌기 위해서는 양 끝의 위상이 같아서 딱 맞아야만 했죠? 위 그림에서도 x좌표의 양 끝이 고정되어 있고 나머지 부분만 움직입니다. 이런 형태가 정상파라고 할 수 있습니다. (고등학교 물리에서 배우는 현의 진동, 관에서의 진동도 모두 이런 모양으로 양 끝이 고정되어 파동이 발생합니다.)

우리가 아는, 발산하지 않으면서 진동하는 함수는 딱 두 개가 떠오릅니다.

바로 sin함수, cos함수 두 개가 있습니다. 이 중에서 정상파를 만족해 슈뢰딩거 방정식에 적합한 파동함수는 바로 sin함수입니다.


 (4.1)

파동함수는 그리스문자 (psi)로 표현합니다. 공간상의 어떠한 함수를 나타내며, 그냥 y=f(x)에서 y같은 함수의 의미라고 생각하시면 쉽습니다.

sin함수의 특징이 있습니다. 

를 한 번 미분하면 , 그리고 이를 한 번 더 미분하면 이 됩니다. 즉, sin 형태의 함수는 2회 미분해서 자기 자신의 함수가 그대로 나오고 앞에는 상수만 바뀐다는 뜻입니다.

위의 식을 2번 미분하면 다음과 같습니다.

(4.2)

(4.2) 식에서 등호의 제일 왼쪽은 함수 psi를 2회 미분한 꼴이고, 제일 오른쪽은 상수인 만 붙고, 원래의 함수인 psi가 있습니다. 2회 미분하면 원래와 같은 식이 나오는 게 식으로 보여집니다.

드 브로이의 물질파 이론에서, 물질파의 파장은 운동량과 플랑크 상수를 이용해 (4.3)과 같이 표현됩니다.

(4.3)

(4.2) 식의 에 =h/p 를 대입하면,

(4.4)

(4.4) 식의 양변에 상수인 을 곱하면 다음과 같습니다.

(4.5)

물체의 운동 에너지는 다음과 같이 (4.6)으로 나타낼 수 있기 때문에,

(4.6)

(4.6)을 (4.5)에 대입하면 다음과 같은 간결한 식이 나옵니다.

(4.7)

식 4.7은 운동 에너지 K에 파동 함수인 psi를 곱한 것을 나타낸다. 즉, 파동성을 통해 나타낸 물질파의 운동 에너지를 미분 방정식으로 정리한 것입니다.

에너지 보존 법칙에 의해 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지를 더하면 총 에너지이므로, 파동에 대한 에너지 식은 다음과 같이 나타납니다.

(4.8)

K : 운동 에너지 , V : 퍼텐셜 에너지, E : 총 에너지

식 (4.7)을 식 (4.8)에 대입하면 최종 식이 얻어집니다.

(4.9)

좌변을 psi(x)로 묶으면, 묶은 부분을 다음과 같이 H로 나타낼 수 있습니다. 

(4.10)

psi라는 파동 함수에 괄호 안의 모든 작업을 H라는 "연산자"를 통해 한꺼번에 한다는 의미이다. 를 "해밀토니언 연산자"라고 합니다.

연산자라는 개념이 잘 이해가 가지 않을 수 있으니, 다음 예시를 들어보도록 하겠습니다.

산성도를 나타내는 척도인 pH를 아시죠? 여기에서 p는 바로 -log를 의미하는 연산자입니다.

(4.11)

슈뢰딩거 방정식에서도 psi 앞의 부분이 계속 반복되기 때문에, 해밀토니언이라는 연산자를 통해 간단히 나타내는 것입니다.

 (4.12)

실제로, 파동은 x축 뿐만이 아니라 x, y, z의 3차원으로 발생합니다. 전자가 원자핵 주변을 3차원으로 운동하고 있기 때문에, 실제 파동 함수 psi에 대한 운동 에너지, 퍼텐셜 에너지, 그리고 해밀토니언 연산자까지 전부 x, y, z 모두에 대한 식으로 나타내어야 합니다.

(4.12) 식에서 나타낸 해밀토니언은 x축에 대해서만 2회 미분한 것을 표현했지만, 실제로는 y, z축에 대해서도 모두 2회 미분하므로

(4.13)

(4.13)의 식과 같이 나타내어야 합니다. 미분 연산자가 상당히 거추장스럽죠? 수학에서는 이런 표현을 간단하게 축약해 씁니다.

del operator라고 하는 연산자는 x, y, z 방향으로 모두 미분한 연산자를 더한 것입니다.

(4.14)

i, j, k는 그냥 x, y, z 방향이라고 생각하시면 됩니다. 그러면 x, y, z 방향으로 각각 2번씩 미분한 것은?

(4.15)

이렇게 표현할 수가 있겠네요. 그러면 해밀토니언 연산자와 슈뢰딩거 방정식은 각각 (4.16), (4.17)과 같이 더 간결하게 쓸 수 있습니다.

(4.16)

(4.17)


오늘 글은 수식이 많아 쓰기가 어려웠습니다 ㅠㅠ 어렵고 따분한 내용일 수 있지만 슈뢰딩거 방정식은 뒤에 이어질 오비탈을 이해하는 데 필수적인 요소이기 때문에 빠트릴 수가 없었습니다. 실제로 슈뢰딩거 방정식은 time-independent한 형태와 time-dependent한 형태로 나누어 훨씬 복잡한 수학적 요소를 가집니다. 여기에서는 오비탈을 이해하는 데에 필요한 기본적인 슈뢰딩거 방정식만을 나타냈습니다 ^^

그럼 오늘은 여기서 마치겠습니다.

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