보어의 원자모형

여러분 안녕하세요.

오늘은 보어의 원자 모형에 대해서 설명하려고 합니다.

고등학교 화학에서 원자 모형에 변천에 대해서 배웁니다.

익숙한 그림이죠? 그림을 하나씩 설명해 보겠습니다.

가장 왼쪽은 바로 "돌턴"의 원자 모형입니다. 돌턴은 원자가 더 이상 쪼갤 수 없는 가장 작은 물질의 단위라고 했죠. 그래서 원자가 가장 작다, 그냥 원자를 공 모양으로 표현했습니다.

두 번째는 "톰슨"의 원자 모형입니다. Plum pudding model이라고도 합니다. 푸딩에 자두가 듬성듬성 박혀 있는 모양이라는 뜻이죠. 톰슨은 음극선관 실험을 통해 전자의 비전하(e/m)를 측정하는 데 성공했습니다. 이를 통해서 전자라는 입자가 원자핵 안에 무작위로 퍼져 있다고 생각했습니다. 그래서 이러한 모형이 등장했습니다.

세 번째는 "러더퍼드"의 원자 모형입니다. 러더퍼드는 알파 입자 산란실험을 통해 금박에 알파 입자(He의 원자핵)을 쏴서 튀어나오는 각도를 측정했습니다. 대부분이 거의 평행하게 투과되는데 약 1/10000~1/100000의 확률로 급격하게 방향이 바뀌면서 튀어나가는 알파 입자가 관측되었습니다. 이를 통해 원자핵 안에 아주 작은 크기에 밀집된 원자핵이 존재한다는 것을 밝혀냈습니다. 그래서 작은 원자핵이 중심에 있다는 것을 잘 표현해주고 있습니다.

네 번째는 바로 "보어"의 원자 모형입니다. 보어는 플랑크의 양자 가설을 바탕으로 원자 모형을 구상합니다. 플랑크의 양자 가설에서, 전자는 특정한 에너지만을 가질 수 있고, 그 에너지는 오직 진동수에만 비례합니다. 그리고 한 원자 내에서 전자가 가질 수 있는 에너지는 양자화(quantized)되어 있습니다. 위의 그림이 Quantized를 잘 보여주고 있지는 않는 것 같아 아래 그림을 준비했습니다.


위 그림이 바로 보어의 원자 모형입니다. 우리가 보통 그리는 원자 모형하고 비슷한가요? 원자핵을 중심에 가지고 있고, 전자가 그 주변을 돌고 있습니다. 보어의 모형이 가진 특별한 성질은, 바로 전자는 정해진 궤도를 통해서만 원자핵 주변을 회전할 수 있다는 것입니다. 전자는 n=1, n=2라고 이름을 붙인 궤도를 통해서만 원자핵 주위를 회전합니다. 마치 기차가 선로를 따라서 움직일 수밖에 없는 것처럼 보어는 이러한 가설을 통해 원자 모형을 제시했습니다.

원자 모형의 변천 그림에서, 마지막 5번째 그림은 바로 현대적인 원자 모형인 오비탈(Orbital)입니다. 보어의 모형은 실제로 틀렸다는 결론이 나오고, (나중에 설명해 드릴 거지만, 오직 single-electron system에서만 보어의 이론은 성립합니다.) 이를 수정한 모형이 바로 오비탈입니다. 오비탈에서는, 전자는 실제로 궤도를 돌고 있다고 설명할 수 없고 오직 어떤 한 위치에 존재할 확률로만 표현이 가능하다고 설명합니다. 



오늘은 바로 보어의 모형에 대해 자세히 알아보도록 하겠습니다.

보어의 생각은 이렇습니다.  "An atom could only exist in certain allowed states of specific total energy E."

원자는 특정한 허용된 에너지 준위(Energy level)에서만 존재할 수 있다는 뜻입니다.

원자 내에는 다양한, 허용된 에너지 준위들이 존재합니다. 그 에너지 상태를 가장 낮은 것부터 차례로 1, 2, 3, 4, ...라고 이름을 붙일 수 있겠죠. 그러면 가장 낮은 1번 위치에 전자가 있다면? 전자는 가장 안정할 겁니다. 이 위치를 바로 바닥 상태(ground state)라고 합니다.

전자가 바닥 상태에만 항상 존재하진 않습니다. 만약 외부에서 빛을 쏜다면, 전자는 에너지를 얻어 더 높은 상태로 올라갈 수도 있고, 높은 상태에서 에너지를 잃고 빛으로 방출합니다. (농구공을 땅으로 떨어트리면 쿵!하는 소리가 나죠? 이 소리가 에너지로 나오듯이 전자도 더 낮은 에너지 준위로 떨어지면 그 에너지를 "빛"으로 방출합니다.) 바닥 상태가 아닌, 2, 3, 4,...번 에너지 준위를 들뜬 상태(excited state)라고 합니다. 

전자는 빛에너지를 흡수, 방출하면서 각각 에너지가 높아지고, 낮아집니다. 빛을 받아 에너지가 높아지면 예를 들면 2번에서 5번으로 에너지 준위가 올라가는 것이고, 빛을 잃으며 에너지가 낮아지면 예를 들면 4번에서 1번으로 에너지 준위가 내려가는 현상입니다. 이렇게 빛의 흡수와 방출을 통해 양자화된 에너지 준위를 오르내리는 현상을 전이(transition)라고 합니다. 전이라는 말이 어색하네요 ^^; transition이라고 설명하겠습니다.

위 식을 보겠습니다. Upper state인 Eu에서 lower state인 El, 당연히 Eu가 더 에너지가 높겠죠?(농구공이 지상으로부터 2m 위치에 있을 때 1m 위치에 있을때보다 중력 퍼텐셜 에너지가 더 큰 것처럼) 그러면 그 에너지 차이만큼이 hv, 즉 빛으로 나온다는 뜻입니다.

hv는 플랑크의 양자 가설에서 빛을 이루는 입자 하나의 에너지라고 설명했습니다. 이를 광자, photon이라고 합니다. 지금부터 어떤 식에 hv라는 표현이 나오면 이건 아, 빛을 의미하구나! 라고 생각하시면 쉽습니다 ^^

이렇게 에너지 준위 사이의 빛의 흡수와 방출을 이용한 측정법을 photoelectron spectroscopy라고 합니다. 아래 그림을 보겠습니다.



왼쪽 그림에서, 더 낮은 에너지 준위인 3s에서 photon(빛)을 받아 더 높은 에너지 준위인 3p로 올라갑니다. 이 에너지 차이만큼은 빛을 흡수하는 의미이기 때문에 무지개 색이 모두 나타나는 연속 스펙트럼에서 흡수된 특정 부분만 검정 선으로 나타납니다. 3p의 에너지 준위는 미세하게 겹쳐진 2개이기 때문에 에너지 차이도 2가지가 존재, 검정 선도 2겹으로 나오네요.

오른쪽 그림에서, 높은 에너지 준위인 3p에서 photon(빛)을 방출하면서 낮은 에너지 준위인 3s로 이동합니다. 그러면서 빛을 방출하는데요, 그 방출하는 에너지만큼의 파장을 가진 빛이 노란색의 빛으로 보이게 됩니다. 이 선은 유명한 'Sodium D-line'이라고 합니다.


보어는 특정한, 정해진 에너지 준위에서만 전자가 존재할 수 있다고 했습니다. 이제 보어의 이론을 증명하기 위해 필요한 또 다른 중요한 성질을 설명해 드리도록 하겠습니다. 바로 드 브로이의 물질파(de Broglie's Matter Wave)입니다.

드 브로이의 물질파 이론도 역시 뉴턴의 고전 역학의 실패로부터 비롯됩니다. 간단히 말하면, 모든 물질은 물질(matter)과 파동(wave)의 두 형태로 모두 존재할수 있다는 것입니다. 

만약 물질인 상태로 존재한다면, 뉴턴 역학을 따릅니다. 공을 특정한 힘으로 던지면 F=ma에 따라서 가속도가 붙고, 마찰에 의해 점점 속도가 줄어듭니다. 또다른 공에 충돌을 시키면 운동량 보존의 법칙에 의해 더 다양한 운동이 기술될 수 있습니다.

그런데 만약 파동으로 존재한다면, 매질을 통해 통과할 수도 있고, 벽을 뚫을 수도 있습니다. 빛처럼 특정한 파장과 진동수를 가지며 그에 따라서 속도가 결정됩니다. 

드 브로이의 물질파 이론에 따르면, 야구 선수 류현진이 던지는 150km/h짜리 야구공이 공 자체로도 보이지만, 이게 파동이라고 설명할수도 있다는 뜻입니다. 이게 무슨 소리일까요.

위 식이 바로 드 브로이의 물질파의 파장을 나타내는 식입니다. 물질파의 파장은 플랑크 상수 h를 물질의 질량과 속도의 곱으로 나눈 것입니다.

만약 야구공의 질량이 0.2kg이고 144km/h = 40m/s의 속도로 던져진다고 가정하고 물질파의 파장을 구해 보겠습니다.

파장이 m의 단위가 나옵니다. 원자핵의 크기가 m인데, 이보다 10의 20제곱배나 더 짧은 파장이기 때문에, 파동성은 의미가 없어집니다. 그래서 야구공도 물론 파동성을 갖지만 너무 파장이 짧아서 파동성이 그냥 없다고 생각해도 무관한 것입니다. 류현진이 던진 공이 포수의 미트 앞에서 갑자기 파동으로 변해 글러브를 뚫고 다시 튀어나갈 일는 없다는 뜻이죠.

그런데 만약 야구공이 아닌, 매우 작고 빠른 입자인 전자를 이용해서 계산해 보겠습니다9.11 ×10-31kg의 질량을 가진 전자가 4.19 ×106m/s의 속도로 이동할 때, 같은 방식으로 계산한다면 물질파의 파장은 1.74 ×10-10m가 나옵니다. 

이는 0.174nm로 자외선의 파장 영역임을 알 수 있습니다. 즉, 전자가 파동성을 충분히 가질 수 있는 파장 영역대라는 것을 알 수 있습니다. 

빛이 파동성을 나타내는 성질이 3가지 있습니다. 간섭, 회절, 편광 이 3가지가 빛의 파동성의 증거입니다.

만약 전자가 드 브로이의 물질파 이론에 따라 파동으로 행동할 수 있다면, 전자를 이용한 회절이 일어나야 합니다. 즉, 드 브로이의 가정이 맞다면 격자 간격과 일치하는 물질파를 가진 입자(전자)는 회절해야 합니다. 드 브로이의 이론을 데이빗슨과 거머라는 두 명의 과학자가 실험적으로 밝혀냈습니다. 

아래 그림은 Davisson & Germer의 Electron diffraction 실험 결과입니다.



(a)번은 실제 빛, 파동인 X선의 화절 무늬입니다. 만약 전자의 속도를 적당히 조절해서 발사하면 물질파의 파장이 X선의 파장과 거의 일치하게 맞출 수 있겠죠? 이를 이용해 전자를 알루미늄 박막에 쏴서 얻은 회절 무늬가 바로 (b)입니다. 파동의 위치가 거의 일치함을 알 수 있습니다. 전자가 회절을 일으키는 것도 신기한데, 드 브로이의 물질파 파장에 해당하는 빛과 회절 위치까지 같습니다. 이 실험을 통해 드 브로이의 물질파 이론이 실험적으로도 옳다는 것이 증명되었습니다.



물질파 이야기가 길어졌네요. 보어의 모형에서 물질파는 아주 중요한 역할을 합니다.

원자 모형에서, 원자핵 주위를 전자가 돌고 있습니다. 전자는 파동성을 띠기 때문에 파동으로 존재할 수 있고, 파동의 형태로 원자핵의 주변을 돌 수 있습니다. 파동은 일정한 주기성을 가지고 이동합니다. 원 둘레를 파동의 형태로 딱 맞게, 주기성을 가지고 돌기 위해서는 어떻게 해야 할까요. 바로 아래 그림처럼 원의 둘레가 전자의 파장의 정확히 정수 배가 되어야 합니다.


원의 둘레가 파장의 3배에 일치하게 하고 말면, 정확히 양 끝이 들어맞아 원 둘레를 회전하는 "막힌" 파동이 됩니다. 만약 전자를 그냥 입자라고만 생각한다면 이런 이론이 전혀 필요가 없습니다. 하지만 드 브로이의 물질파 이론에 의하면, 전자는 물질 뿐만 아니라 파동성을 통해서도 원자핵 주변을 돈다는 사실이 설명되어야 합니다. 

고등학교 물리에서 이렇게 일정한 구간 내에 막혀서 주기성을 띠는 파동을 바로 정상파(Standing wave)라고 배웠습니다. 그래서, 파장의 정수배가 원주의 길이와 같아 정상파의 형태를 띠어야만 전자의 회전이 성립된다는 결론이 나옵니다. 

바로 이게 보어의 첫 번째 가정입니다.

보어는 원자 모형을 유도하기 위해 세 가지 가정을 하고, 이를 수학적으로 연립해 결론을 냅니다.

1. 전자가 원자핵 주위를 도는 원주의 길이는 파장의 정수배와 같다.


2. 전자가 원자핵에 이끌리는 전자기력이 구심력 역할을 한다.

두 번째 가정은 전자를 입자라고 생각하고 뉴턴 역학적으로 세운 식입니다. 어떤 물체가 회전하기 위해서는 구의 중심 방향으로 구심력 역할을 하는 힘이 필요합니다. 원자 모형에서는 원자핵이 전자를 잡아당기는 힘의 크기가 바로 구심력의 역할을 해 줍니다. 전자의 전하량은 -e, 원자핵의 전하량은 +e, 사이의 거리는 r이라고 했습니다.

잠깐, 여기서 의문을 가질 수 있습니다. 쿨롱의 전자기력은 kQq/r^2인데, 쿨롱 상수인 k는 어디로 갔나요? 라고 생각하실 수 있습니다. 제가 포스팅에 사용하는 교재에서는 모든 양자 역학의 단위를 cgs-esu 단위계로 사용합니다. 이 단위게에서는 쿨롱 상수인 k=9*10^9JmC^(-2)를 그냥 1이라고 가정하고 모든 단위를 변형합니다. 그러면 위의 식처럼 깔끔한 식으로 나오기 때문이죠. 계산을 실제로 해 보고 싶다면 다른 교재에 나온 보어의 가설을 이용해 계산한다면 더 편할 거라고 생각합니다.ㅎㅎ


3. 전자가 가진 총 에너지는 운동 에너지에 전자기력에 의한 퍼텐셜 에너지를 더한 값이다.

세 번째 가설은 말 그대로 에너지 보존 법칙입니다. 운동 에너지와 위치 에너지를 더하면 전자가 가지는 총 에너지가 된다는 의미인데요, 실제로 위치 에너지라는 표현은 잘못된 의미입니다. 대학 과정부터는 중력, 전자기력, 만유인력에 의한 기존의 '위치' 에너지를 '퍼텐셜 에너지, potential energy'라고 설명합니다. 모든 구속되어 있는 힘은 퍼텐셜 에너지를 갖습니다.

에너지 보존 법칙도 그래서, 운동 에너지의 항인 K와 퍼텐셜 에너지의 항인 V를 더하면 됩니다. 보어의 원자 모형에서는 만유인력이 너무 작아서 무시하기 때문에, 전자기력만을 퍼텐셜 에너지의 항에 넣어 계산합니다.


이제 1, 2, 3의 세 개의 식을 연립방정식을 세워서 풀면 됩니다. 1, 2를 이용해 최종 식인 에너지를 표현하는 3번 식에 대입하면, 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.

n을 제외한 나머지 문자는 전자의 질량 m, 전자의 전하량 e, 플랑크 상수 h로 전부 상수입니다. 

그러면, 전자의 에너지 E는 n의 제곱에 반비례한다는 결론이 얻어집니다. 여기에서 n은 바로 전자 껍질의 번호입니다.

플랑크의 양자 가설을 통해 전자는 정해진 에너지 궤도에만 존재할 수 있다는 결론이 나왔습니다. 그 정해진 궤도를 전자 껍질(electron shell)이라고 합니다. 마치 양파 껍질처럼 원자핵을 중심으로 정해진 궤도가 있는 것을 의미합니다. 전자 껍질이 도대체 얼마만큼의 에너지의 크기를 갖는가? 바로 그 에너지의 양을 나타내어 주는 식이 위의 에너지 식입니다. 

전자 껍질이 1, 2, 3, ...으로 증가할수록 에너지의 크기는 -1, -1/4, -1/9, ...으로 -1에서 0으로 점점 수렴합니다.

또, 에너지 뿐만 아니라 1, 2, 3...번 전자 껍질의 위치도 보어의 3가지 가정을 연립하면 얻을 수 있습니다.

전자 껍질의 위치는 n의 제곱에 비례하는다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 전자 껍질이 1, 2, 3,...으로 증가할수록 껍질의 위치는 1, 4, 9, ...의 거리로 제곱에 비례해 멀어집니다. 

n의 제곱 앞의 상수를 보어 반지름(Bohr radius) a0라고 가정하면, 계산하면 다음과 같습니다.

가장 안쪽 껍질인 n=1인 경우, 껍질의 위치가 원자핵으로부터 0.5292 angstrom(10^-10 m)이고, 2, 3, 4번째 껍질은 이 값에 각각 4, 9, 16을 곱한 값입니다.

말로만 설명하니 복잡하죠? 전체적으로 알려 주는 그림이 바로 아래에 있습니다.



거리는 n=1, 2, 3, 4, 5로 갈수록 제곱에 비레해 증가합니다. (위쪽 동심원 그림) 그리고 아래의 그래프는 각 껍질의 위치에서의 에너지 준위를 나타내어 줍니다. n=1의 위치에서는 -13.6eV, n=2에서는 1/4배인 -3.4eV, n=3에서는 1/9배인 -1.51eV입니다. 

그러면 만약 껍질이 무한대로 간다는 것은 무슨 뜻일까요? 원자핵의 구속에서 완전히 벗어난다는 뜻이죠? 그러면 퍼텐셜 에너지가 0이 됩니다. 원자핵으로부터 전혀 구속받고 있지 않다는 뜻을 의미하며, 보어의 에너지 식에서도 n이 분모에 있기 때문에 무한대로 보낸다면 에너지는 0이 됩니다. 


보어의 해석을 이용해서 전자가 특정한 껍질에 있을 때의 에너지 준위를 알아낼 수 있었습니다. 앞서 말씀드린 전자의 transition은 서로 다른 에너지 준위 사이에서 일어난다고 했는데, 이제 보어의 모형을 통해 그 에너지 준위를 정확히 알 수 있으므로 방출 또는 흡수된 빛의 파장도 알 수 있습니다. 



우변의 두 항들은 각각 n1, n2인 전자 껍질에서의 에너지입니다. 어차피 n 말고 나머지는 다 상수이니 그냥 n1과 n2에서의 에너지 준위의 차이라고 생각하시면 됩니다. 그 에너지 차이만큼이 좌변의 빛의 에너지로 나타납니다. 

n1과 n2에 전자 껍질 수에 해당하는 자연수들을 대입하면, 아래 그림과 같이 실제 실험 결과와 일치하는 파장의 빛을 계산을 통해 얻을 수 있습니다. 



오늘은 보어의 모형에 대해 알아보았습니다. 다음 포스팅에서는 보어 이후의 더 현대적인 모형인 오비탈에 대해 차근차근 알아보도록 하겠습니다. 



P.S 잘못된 내용이 있으면 피드백 환영입니다 ^^

- References

University Chemistry, Peter Siska, Pearson Education, 2006







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